初三二次函数万能口诀 二次函数的应用）

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备战2020年中考数学一轮复习——二次函数（压轴题专项），我来为大家科普一下关于初三二次函数万能口诀?以下内容希望对你有帮助!

初三二次函数万能口诀

备战2020年中考数学一轮复习——二次函数（压轴题专项）

1、【2019遂宁中考】如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．

②求证：∠BNM＝∠ONM．

2、如图，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)，点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长．

3、如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n＜0)以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线y＝kx＋m交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为M.

(1)求k的值；

(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．

4、已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低点的纵坐标为－4.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；

(3) 如图2，平移抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝－2上有一动点P，

过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行)，

求证：直线EF恒过某一定点.

5、如图1，点A是直线y＝kx(k＞0，且k为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．(点A，E，F两两不重合)

(1)请写出h与m之间的关系；(用含k的式子表示)

(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值．

图1　　　 　图2

6、已知直线y＝x－2t与抛物线y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k为已知数)，在t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点．

(1)求k的值；

(2)t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，y＝x－2t的值总小于y＝a(x－t)2＋k的值，

试求a与m的关系式；

(3)当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A、B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值，若有，请求出相应的t的取值，若没有，请说明理由．

7、如图，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的长AO是宽OC的倍，且有两边在坐标轴上．将△ACO沿对角线AC翻折的△ACP，P点落在经过矩形ABCO四个顶点的⊙E上，⊙E的半径为R.

(1)用R的式子表示点B的坐标；

(2)若抛物线y＝ax2＋x＋c经过P、A两点，请你判断点C是否在此抛物线上；

(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q，该抛物线与x轴的另一个交点为M，那么直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值？如果不是，请说明理由；如果是，请求出其比值k.

8、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋m(m为大于0的常数)与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．

(1)直接写出点A，C的坐标(用含m的式子表示)；

(2)求ac的值；

(3)若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2＋bx＋c有且只有一个公共点P，连接PA，PC，当△PAC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点坐标．

9、如图1，抛物线y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问△PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．

（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

参考答案

1、【2019遂宁中考】如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．

②求证：∠BNM＝∠ONM．

【解析】（1）∵二次函数顶点为P（3，3）∴设顶点式y＝a（x﹣3）2 3∵二次函数图象过点A（6，0）

∴（6﹣3）2a 3＝0，解得：a＝﹣ ∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2 3＝﹣x2 2x

（2）设B（b，﹣b2 2b）（b＞3）∴直线OB解析式为：y＝（﹣b 2）x

∵OB交对称轴l于点M∴当xM＝3时，yM＝（﹣b 2）×3＝﹣b 6

∴M（3，﹣b 6）∵点M、N关于点P对称∴NP＝MP＝3﹣（﹣b 6）＝b﹣3，∴yN＝3 b﹣3＝b，即N（3，b）

①∵OP＝MN∴OP＝MP∴＝b﹣3解得：b＝3 3

∴﹣b2 2b＝﹣×（3 3）2 2×（3 3）＝﹣3 ∴B（3 3，﹣3），N（3，3 3）

∴OB2＝（3 3）2 （﹣3）2＝36 18，ON2＝32 （3 3）2＝36 18，BN2＝（3 3﹣3）2 （﹣3﹣3﹣3）2＝72 36∴OB＝ON，OB2 ON2＝BN2

∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3 3，﹣3）．

②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D ∵B（b，﹣b2 2b）、N（3，b）

设直线BN解析式为y＝kx d ∴ 解得：∴直线BN：y＝﹣bx 2b

当y＝0时，﹣bx 2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x轴

∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM

2、如图，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)，点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长．

【解析】：(1)由直线y＝－x＋n过点

C(0，4)，得n＝4，

∴y＝－x＋4.令y＝0时，－x＋4＝0，解得x＝3.∴A(3，0)．∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)，

∴∴

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.

(2)∵点P的横坐标为m，

∴P，D(m，－2)．

若△BDP为等腰三角形，则PD＝BD.

①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.

(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m＜ 0，BD＝－m.

∴m2－m＝－m，∴m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．

(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m＞ 0，BD＝m.

∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝.

②当点P在直线BD下方时，m＞ 0，BD＝m，PD＝－m2＋m.∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝.

综上所述，当m＝或，△BDP为等腰直角三角形，此时PD的长为或.

3、如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n＜0)以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线y＝kx＋m交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为M.

(1)求k的值；

(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．

【解析】 (1)根据题意得到：E(3n,0)，G(n，－n)．当x＝0时，y＝kx＋m＝m，∴点F坐标为(0，m)．

∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2，

∵FB＝AF，

∴m2＋n2＝(－2n－m)2，

化简，得m＝－0.75n，

对于y＝kx＋m，当x＝n时，y＝0，

∴0＝kn－0.75n，

∴k＝0.75

(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G，

∴

解得a＝，b＝－，c＝－0.75n.

∴抛物线为y＝x2－x－0.75n.

解方程组：

得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n.

∴H坐标(5n,3n)，HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n，

∴△AMH的面积＝0.5×HM×AM＝6n2.

而矩形AOBC的面积＝2n2，

∴△AMH的面积∶矩形AOBC的面积＝3∶1，不随着点A的位置的改变而改变．

4、已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低点的纵坐标为－4.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；

(3) 如图2，平移抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝－2上有一动点P，

过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行)，

求证：直线EF恒过某一定点.

【解析】(1) y＝x2＋(2m－1)x－2m＝(x＋m－0.5)2－m2－m－0.25，∵最低点的纵坐标为－4，

∴－m2－m－0.25＝－4，即4m2＋4m－15＝0，∴m＝1.5或－2.5. ∵m＞0.5，∴m＝1.5.

∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.

(2) ∵y＝x2＋2x－3，∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3). 连AC交BD于E，

过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，

由△ABD与△CBD面积相等，得AM＝CN.

于是易得△AEM≌△CEN(AAS)，∴AE＝CE，∴E(－1.5，－1.5).

又B(1，0)，∴直线BE的解析式为y＝0.6x－0.6.

由，解得D(－，－).

(3) 设E(t，t2)，F(n，n2)，设直线PE为y＝k1(x－t)＋t2，

由，得 x2－k1x＋k1t－t2＝0，△＝k12－4(k1t－t2)＝(k1－2t)2＝0，∴k1＝2t.

∴直线PE为y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2. 令y＝－2，得xP＝.

同理，设直线PF为y＝k2(x－n)＋n2，xP＝，得：＝，

∵t≠n，∴tn＝－2.

设直线EF的解析式为y＝kx＋b，由，得x2－kx－b＝0，

∴xE·xF＝－b，即tn＝－b，∴b＝2. ∴直线EF为y＝kx＋2，过定点(0，2).

5、如图1，点A是直线y＝kx(k＞0，且k为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．(点A，E，F两两不重合)

(1)请写出h与m之间的关系；(用含k的式子表示)

(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值．

图1　　　　图2

【解析】 (1)∵抛物线顶点(h，m)在直线y＝kx上，∴m＝kh；

(2)解方程组

将②代入①得到：(x－h)2＋kh＝kx，

整理得：(x－h)[(x－h)－k]＝0，

解得：x1＝h，x2＝k＋h.

代入到方程②得y1＝kh，y2＝k2＋hk.

所以点E坐标是(k＋h，k2＋hk)

当x＝0时，y＝(x－h)2＋m＝h2＋kh，

∴点F坐标是(0，h2＋kh)

当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，

即k2＋kh＝h2＋kh

解得：h＝k(h＝－k舍去，否则E，F，O重合)

此时点E(2k,2k2)，F(0,2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2)

∴AC∶OF＝k2∶2k2＝1∶2

6、已知直线y＝x－2t与抛物线y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k为已知数)，在t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点．

(1)求k的值；

(2)t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，y＝x－2t的值总小于y＝a(x－t)2＋k的值，

试求a与m的关系式；

(3)当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A、B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值，若有，请求出相应的t的取值，若没有，请说明理由．

【解析】 (1)由题意，t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点．

而此时直线解析式为y＝x－4，

对称轴坐标为直线x＝2.

易得k＝－2.

(2)当t＞m时，无论自变量x取何值，一次函数的值总小于二次函数的值，

说明当t＝m时，直线与抛物线有且只有一个公共点．

可设此时直线与抛物线解析式分别为y＝x－2m和y＝a(x－m)2－2，联立消去y，得：

ax2－(2am＋1)x＋am2－2＋2m＝0，

由Δ＝0得：8a＋1－4am＝0.

(3)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，坐标系内构造直角三角形后易知，

AB＝

联立直线与抛物线解析式消去y，得：ax2－(2at＋1)x＋at2－2＋2t＝0.

由求根公式可知：

＝＝，

AB＝＝.

由于a为定值且a>0，所以－4a<0，由于1,8a，、均为正，

从而t＝0时，AB＝最大．

7、如图，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的长AO是宽OC的倍，且有两边在坐标轴上．将△ACO沿对角线AC翻折的△ACP，P点落在经过矩形ABCO四个顶点的⊙E上，⊙E的半径为R.

(1)用R的式子表示点B的坐标；

(2)若抛物线y＝ax2＋x＋c经过P、A两点，请你判断点C是否在此抛物线上；

(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q，该抛物线与x轴的另一个交点为M，那么直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值？如果不是，请说明理由；如果是，请求出其比值k.

【解析】 (1)点B坐标为(R，R)．

(2)易求点P坐标为，点A坐标为(R,0)，则：

解得

∴抛物线的解析式为：y＝－ x2＋x＋R.

由于点C坐标为(0，R)，因其正好为抛物线与y轴的交点，故点C在抛物线上．

(3)如图，由顶点坐标公式易求得Q点坐标为，令y＝0，可解得M点的坐标为，从而S△AMQ＝＝.

又易求OB解析式为y＝x.

设AQ解析式为y＝kx＋b，则：

解得

∴设AQ解析式为y＝－x＋

联立AQ与OB的解析式解得交点N的坐标为.

从而易求S△AON＝·R·＝.

∴＝÷＝.

直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是一个定值，且k＝或者.

8、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋m(m为大于0的常数)与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．

(1)直接写出点A，C的坐标(用含m的式子表示)；

(2)求ac的值；

(3)若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2＋bx＋c有且只有一个公共点P，连接PA，PC，当△PAC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点坐标．

【解析】 (1)点A(2m,0)，C(0，m)；

(2)∵以AB为直径的⊙M经过点C，

∴∠ACB＝90°.

可证得，△BOC∽△COA，∴OB∶OC＝OC∶OA．

∵OA＝2m，OC＝m，∴OB＝＝＝m.

∴点B(－m,0)．

将点A(2m,0)，B(－m,0)，C(0，m)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，

解得a＝－，b＝，c＝m.

∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋m，ac＝(－)×m＝－1.

(3)过点P作PH⊥x轴交AC于点E，交x轴于点H，过点C作CF⊥PH，垂足为F.

∵直线l平行于AC，设l的解析式为：

y＝－x＋n.

代入抛物线的解析式并整理，得－x2＋2x＋m－n＝0.

∵l与抛物线y＝－x2＋x＋m有且只有一个公共点P，

∴Δ＝22－4(－)(m－n)＝0.解得n＝2m.

∴l的解析式为：y＝－x＋2m.

S△PAC＝S△PCE＋S△PAE＝PE×CF＋PE×AH＝PE×AO.

∵AO＝2m，PE＝2m－m＝m.

∴S△PAC＝PE×AO＝m×2m＝4.

解得m＝±2.∵m＞0，∴m＝2.

∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋2.

∵⊙M与抛物线的一个交点C(0,2)的纵坐标为2，令－x2＋x＋2＝2.

解得x＝0或x＝3.

∴⊙M与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点坐标为：A(4,0)，B(－1,0)，C(0,2)和C1(3,2)．

本文就为大家讲解到这里，希望对大家有所帮助。

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