2023数分Day4+5（Cauchy命题/平均值定理+Stolz公式）

2023-08-23 13:50:05 来源：哔哩哔哩收藏

一、整体

(资料图)

Day4不难，就是基本的极限概念，分段来做。

Day5技巧稍微强一点，理解清楚Stolz公式；也涉及一些Taylor公式的运用

二、需要复习的

1、继续复习单调有界定理，对其应用加深理解

2、如何构造一个分母为单调递增趋于∞，可以好好学习

3、Stolz公式

4、Toeplitz定理？

三、具体题目

Day4：Cauchy命题（平均值定理）

1【西南交大】

a可以分成有限数和+∞来做。

思路就是分成两部分去做，写出｛an｝极限为a的定义，然后分成前N项和后（n-N）项，然后分段放缩；

+∞情况也类似，也是写出｛an｝极限为+∞的情形，然后拆成两段，利用保号性，分两段得出最终的值要>M，说明极限就是+∞，注意利用保号性，有一点技巧，最终是为了凑一个完美的M

2【长安大学】

写出极限为+∞的定义，然后分成两段，利用保号性，最后合并保证取到最完美的M。

注意这个保号性取的时候有技巧，an>3M也是为最终完美的M服务

3【华南理工】

观察要求的和题干中差了（n-1）项；

再取极限，然后利用极限的四则运算以及题干中极限为a，凑出n-1，最后得到极限为0.

注：本题重点在观察已知和题干要求的关系，要先利用已知来表达！！！！！！

4【暨南大学】

法一仍然是分段做，方法同题1；

法二要单独考虑a是否为0，两种情况讨论；

先考虑a=0，然后如果a≠0，就记bn=an-a(→0）即可，便可以用a=0的情形来做了。

总结：这四道题考察语言叙述，多练，有助于对极限定义理解加深以及分段思想（极限思想）的更深刻理解

Day5：Stolz公式

对于分母有严格要求的，对于分子可以是*，也可以是+∞

1【吉林大学】

由于分母满足使用Stolz公式的条件，所以用一下，然后得出极限为1/4

2【电子科大】

【概念辨析】题干的这个C^2[0,1]什么含义？

它的含义是定义在闭区间[0,1]上连续两次可导的函数集合。这里的2代表函数的可导次数。

具体地说，一个函数f(x)属于C^2[0,1]，意味着它在闭区间[0,1]上连续，并且它的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)也在该区间上都存在且连续。它表示函数空间的一个子空间，包含了所有在闭区间[0,1]上连续两次可导的函数。

【具体做法】

1问：先利用数学归纳法得出an在（0，1）之中，有界；

再去相减，利用题干信息，得到单调递减；利用单调有界定理，得到极限收敛，然后设为a，由于它是单调递减，且an范围在（0，1）；所以a∈【0，1）（这里0是闭区间很关键）；我们接着假设a∈（0，1），发现两边取极限之后与题干信息矛盾，因此a=0；

2问：为了使用Stolz公式，对于nan这个式子，如果把n放到分母上变成1/n,就不满足分母要严格递增趋于+∞的要求，所以，把an放到分母做可以满足要求。注意把an+1化成f(an)，然后具体的分子分母值需要用一下Taylor公式来做，最后算出结果。（恰好符合C^2[0,1]有二阶可导连续的函数的含义）

注：往往第1问是在为第2问做铺垫，an极限为0，恰好取倒数放到分母就是严格单调递增趋于+∞；

3【上财】

观察题干，有根号，往往要平方去做；

先去证明xn单调递增发散，为后续做铺垫；

先利用数学归纳法说明xn>0，有下界；

然后得到｛xn｝单调递增；我们假设它收敛有极限a，通过两边取极限，发现1/a=0，这样的a不存在，所以｛xn｝不收敛，就是一个单调递增发散到+∞的数列；

然后对于题干要求的式子，使用Stolz公式即可，xn用含xn-1的式子来代换，最终得到极限为2，收敛，且原极限为根号2，也可以知道｛xn｝的等价量是根号下2n.

4【厦大，南京师大】

想利用Stolz公式，但是发现题干的极限式子没有分母，但是发现题干有个k是在0-1之间的，想到取个倒数不就有分母了，于是令λ=1/k，这样做，然后通分，分母是λ^n，可以用Stolz公式了，然后最后一步利用｛an｝极限为a,且1/λ=k，得到最后结果为a/(1-k).

补充题：2道2021-2022电子科大考察Stolz公式的真题

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